ап стену!

"Ведь по условию ясно"(с) Шарпер,
что забег Ахиллеса и черепахи  происходит на дистанции
10000/9 шагов, это приблизительно 1111,(1) шаг.
Это дистанция для Ахиллеса.
Черепаха на старте имеет фору в 1000 шагов Ахиллеса.
Ахиллес, двигаясь со скоростью 10 шагов в секунду, финиширует
через 111,(1) сек.
Черепаха за это время со скоростью 1ш/сек,
проползет 111,(1) шагов Ахиллеса, и финиширует одновременно с ним.

Отредактировано Лукомор (2024-05-29 08:49:34)

Время я могу убить, но вот так вот просто выкинуть... не пробовал.
Можно еще остановить время:

И в задаче не так уж много исходных данных, чтобы что-то выкидывать...
Пусть будет, оно места не занимает.

Кроме того, я могу выкинуть все расстояния без ущерба, и решить эту задачу с одним только временем...
Для этого достаточно знать только один интервал: между моментом старта и первым измерением.
По условию это ∆t_1 = 100 секунд.
А также нужно знать, что каждый следующий интервал между измерениями в десять раз меньше предыдущего. q=1/10.
Дальше, берем формулу геометрической прогрессии и считаем суммарное время всех интервалов между измерениями:T= (∆t_1)/(1-q)
Получилось T=100*(10/9)=111,(1) секунд.
Теперь возвращаемся к нашим рекордсменам.
Пройденный путь - это скорость умножить на время.
Зная скорость Ахиллеса 10 ш/сек, получаем, что за найденное время он пробежит 1111,(1) ш.
Черепаха со скоростью 1 ш/сек, проползет 111,(1) ш.
Плюс не забываем 1000 шагов форы, что в сумме дает те же 1111,(1), что и у Ахиллеса.
Вывод: победила дружба!

Отредактировано Лукомор (2024-05-29 12:40:34)

Тогда путь - соотношение времен, так что  легко исключается переходом непосредственно к интервалам между измерениями, как я показал еще выше.

Отредактировано Лукомор (2024-05-29 12:37:15)

А если финишную ленточку нарисовать до этой точки, то черепаха пересечет ее первой.
Пусть забег осуществляется на стометровке и черепаха имеет фору.
При отношении скоростей 10:1,
если фора меньше 90 метров - побеждает Ахиллес.
Если фора больше 90 метров - побеждает черепаха.
Если фора ровно 90 метров - Ахиллес только догонит черепаху,
в момент фотофиниша.
При этом во все предыдущие моменты черепаха будет впереди.
Поскольку этих предыдущих моментов между стартом и финишем можно нарезать бесконечно много, создается иллюзия, что черепаха будет впереди всегда.
На этом построен парадокс.

Вообще черепаха тут не нужна. Она просто является элементом обратной связи, отмечая момент следующего измерения.
Можно заменить ее автоматикой, которая будет фиксировать положение Ахиллеса на той же стометровке через интервалы времени, убывающие в геометрической прогрессии.
Например, первое измерение через 9,0 секунд после старта, второе, через 9,9 секунды,
третье через 9,99 секунды, и так далее.
Это аналогично известному математическому факту:
0,(9) = 1.
Зенону этот факт был неизвестен, и своим парадоксом он пытался показать, что 0,(9) хоть на чуть-чуть, но меньше единицы.
Сейчас мы знаем, что это не так.
Но у  Зенона не было хорошего научного руководителя понятия о сумме убывающей геометрической прогрессии, о бесконечности, и тому подобных вопросах.
Такое впечатление, что своими апориями он только ставил эти вопросы, но ни на один не нашел ответа.
К тому же, говорят, он был нетрадиционной сексуальной ориентации, и это многое объясняет... 

Отредактировано Лукомор (2024-05-30 00:12:08)

Кого-то мне это напоминает... 

В условии нет, в решении есть.

Смотря кто задачу решает. Я вот вижу вполне ясный ответ, что Ахиллес гарантированно догонит черепаху, тут вполне можно и расстояние посчитать и указать где именно свершится этот обгон. И тут же какой-то мухлеж от экстремальных метрологов, нацеленный на то, чтобы эту ясность затуманить до полной неопределенности. Решение простое - метрологи идут на йюх, дальше задача решается банально просто. Это, кстати, относится к большинству задач, в которых метрологи-моджахеды пытаются внести свой творческий вклад.

В моей, которую ты только что процитировал -  есть.
Я явно указал длину дистанции. И в ней нет  никаких убывающих в геометрической прогрессии интервалов. Моя задачка, в сущности, для третьего класса.
Там скорости спортсменов и расстояния, которые им нужно пройти - известны.

А дальше - решение в три действия.
1. Путь Ахиллеса делим на его скорость - находим время Ахиллеса.
2. Путь черепахи делим на ее скорость -находим ее время.
3. Сравниваем два времени. У кого время меньше - тот и выиграл.

Как это работает?

Пусть дистанция для Ахиллеса всегда 100 метров.
Выбираем фору для черепахи.

1. Ставим черепаху на 89 метров впереди Ахиллеса.
Ей до финиша нужно проползди, таким образом, 11 метров.
Даём старт.
Ахиллес, со скоростью 10 м/сек честно, нигде не срезая,  пробегает свои 100 метров за 10 секунд.
Черепаха со скоростью 1 м/сек, проползает свои 11 метров за 11 секунд.
Ахиллес заслуженно победил, и мы даже можем найти координату и момент времени
где Ахиллес догонит черепаху. В момент времени 89/9 =9,(8 ) сек на расстоянии 890/9=98,(8 ) м от старта Ахиллес догонит черепаху, а на финише будет на 1 м впереди нее.

2.  Ставим черепаху на 91 метр впереди Ахиллеса.
Ей до финиша нужно проползди, таким образом, 9 метров.
Даём старт.
Ахиллес, со скоростью 10 м/сек честно, нигде не срезая,  пробегает свои 100 метров за 10 секунд.
Черепаха со скоростью 1 м/сек, проползает свои 9 метров за 9 секунд.
Черепаха заслуженно победила, Ахиллес отстал на 10 метров, и финишировал на 1 секунду позднее.

3.  Ставим черепаху на 90 метров впереди Ахиллеса.
Ей до финиша нужно проползди, таким образом, 10 метров.
Даём старт.
Ахиллес, со скоростью 10 м/сек честно, нигде не срезая,  пробегает свои 100 метров за 10 секунд.
Черепаха со скоростью 1 м/сек, проползает свои 10 метров за 10 секунд.
Победила дружба.
Причем черепаха все время лидировала и Ахиллес волевым усилием догнал ее только в самый момент финиша.

Именно этот третий случай и взят за основу Зеноном.

А дальше включается механизм, который я назыаю "квантовой Зенонодинамикой".
Он заключается в том, что притаскивается метролог с ящиком измерительных приборов, и говорит:"Мы будем измерять положение Ахиллеса и черепахи по новой методичке, через интервалы, убывающие в геометрической прогрессии". И начинается потеха, потому что по этой методике метрологу нужно произвести бесконечно много измерений за 10 секунд, и ни одним из них нельзя пожертвовать.
Причем Ахиллес и черепаха никоим образом не замечают разницы в методике измерений, они бегут как обычно, и приходят к финишу в то же самое время, что и до изобретения метрологии.
То есть подтверждается мудрое изречение, уже не помню, чье:"Парадоксы - не в Природе, а в головах исследователей". В данном конкретном случае - в голове метролога.
К черепахе, и тем более, к Ахиллесу, это никакого отношения не имеет.

Впрочем, я привел эту задачку просто для иллюстрации того простого но глубокого факта, что просто преимущества в скорости не достаточно для того чтобы догнать, нужно еще иметь достаточно времени для этого.

Отредактировано Лукомор (2024-05-30 09:48:47)

Ты его не видишь, а оно есть.
Суслик же!
В задаче ограничение по расстоянию задано неявно, через сумму убывающей геометрической прогрессии отдельных участков трассы, которая сумма вполне себе конкретное число.
Число! Которое нужно найти по формуле суммы убывающей геометрической прогрессии.
И как только его нашел, оно - есть. Но пока не нашел, или не умеешь найти, оно там все равно есть, только в скрытом виде.
Если бы Зенону сказали, что Ахиллес и черепаха бегут бесконечно долго по бесконечно длинной трассе, он бы не поверил, и обиделся бы.
Потому что во времена Зенона Земля была плоская и имела конечный диаметр, а дальше бежать некуда, упрешься в небесную сферу....

Отредактировано Лукомор (2024-05-30 10:19:52)