Батюшки-светы, они тут бублик делят!

Хм... или вот...

Наверное д.б. варианты с чернокожими одноногими...

Виноват, сейчас исправлюсь... Вот, пожалуйста, про загрузку современного ПО.

И эти линии в пространстве равноправны. Более того. Расскажу ответ.
Нетрудно представить выворачивание на левую сторону, например воздушного шарика разрисованного параллелями и меридианами. Все остается тем же : параллели поараллелями, а меридианы меридианами. Выворачивание тора происходит гораздо интереснее. Линии, которые были поперечными, становятся продольными, а продольные поперечными (на разграфленном как показал Доктор торе). При этом пространство внутри кольца тора попадает внутрь тора, а его внутреннее пространство наружу. Таким образом сцепленные линии остаются сцепленными в пространстве.
Это видно очень интересно, если нарисовать серию картинок с разными фазами выворачивания. В промежуточном положении, когда края отверстия растянуты наподобие блина, в середине находится пространственная конфигурация, напоминающая крышку от кастрюльки, которая одинаково выглядит и с той и с другой стороны.

Художник недостаточно умен. Наличие длинных волос мешает участвовать в рукопашной.

Тут уже, наверное, нужны какие-то графические иллюстрации. Лично я вижу один способ и там нет ничего подобного.
Вот берем надувной тор, с такой же пипкой для надувания, как у шара. Спускаем весь воздух, просовываем всю торообразующую пленку через эту пипку, снова надуваем и получаем точно такой же тор, только вывернутый наизнанку. Продольная линия, которая шла по внутренней стороне тора, все так же по ней и идет, причем ровно тем же продольным образом. Поперечные кольца как были, так и остались поперечными. Ничего не изменилось.
Разница получается только если поперечные и продольные линии нарисованы с разных сторон оболочки тора. Тогда может получится, что в исходной конфигурации все продольные линии находятся внутри поперечных, а после инверсии - наоборот. Но из-за этого поперечные линии не становятся продольными.

Вот это вообще не понял. Пространство внутри кольца тора вообще не является частью тора и в инверсии участвовать не может.

У меня на кухне все крышки от кастрюль выглядят с разных сторон по разному - у них у всех с одной стороны ручка, а с другой ее нет. Что я делаю не так?

Ну это образно "крышка от кастрюльки". Эта фигура имеет с одной стороны выступ подобный ручке на крышке, но середина поверхности крышки представляет из себя точно такую же ручку в обратном направлении.

Такого даже я, с моим пространственным воображением, представить не могу...

может баян и было уже

НХНП. Рисуй, иначе непонятно.

Неожиданно то, что интуитивно мы ожидаем, что если звенья цепи не размыкать, то они и не расцепятся. А тут получается, что цепь разомкнётся не размыкая звеньев.

Неожиданны здесь разве что такие интуитивные ожидания. Картина с кольцами - частная визуализация с ограниченной корректностью. Инверсию оболочки такая визуализация пережить не может в силу этой самой ограниченной корректности, что и наблюдаем.
Ну типа, несли мандарины внутри пакета, потом вывернули пакет наизнанку и мандарины чудесным образом оказались снаружи пакета, хотя их из него никто не вынимал. А мы такие смотрим и удивляемся такой неожиданности. Вот примерно такой уровень парадокса.

Крышка от кастрюли, чашка и ночной горшок топологически эквивалентны тору.

Это сравнение неподходящее и неуместное.
Ладно, я ещё в прошлый раз понял, что представлять вещи в объёме ты не умеешь, но будешь спорить ради спора и сводить с ума собеседника своими аргументами. Так что эту дискуссию я прекращаю, в ней нет смысла.

Ты её не видишь, а она есть. И даже подписана.
Впрочем, это ещё одно подтверждение моих слов, что ты споришь ради спора, а не чтобы что-то понять.