Всё верно!
Но хотелось бы взять хороший напильник, можно даже драчёвый,
и доработать нашу модель - доску Гальтона - так,  чтобы два совпадающих маршрута,
ну хоть чуть -чуть, но не совпадали....

Вообще же задача ставилась изначально, чтобы смоделировать случайное движение шашек
по шахматной доске движением шариков по доске Гальтона.
Внезапно оказалось, что поведение построенной модели отличается от поведения
оригинала.

Отредактировано Лукомор (2023-05-18 10:19:20)

С приставкой "долбо-"...
Долбогальтонизм   

Итак, ставлю перед собой три задачи:
Первая - тактическая - оставась в рамках модели движения шашки по шахматной доске,
в виде доски Гальтона с отражающими стенками, показать недостающие различные
маршруты, которых не видно, но они есть.
Вторая - оперативно-тактическая - показать что именно эта конструкция  доски Гальтона
вообще непригодна для моделирования движения шашки по шахматной доске,
и предложить вместо нее доску Гальтона более другой конструкции.
Третья - стратегическая, - показать что постановка задачи вообще некорректна
и дать правильную формулировку этой задачи.

Отредактировано Лукомор (2023-05-19 09:34:57)

Решение первой задачи, которая получилась из настоятельной просьбы топикстартера
показать ему именно два разных маршрута из угловой клетки, потому что,
подобно Шарперу,  он - за удаление дубликатов,
то-есть полностью совпадающих маршрутов, по принципу:"Один маршрут - один шарик".
Показываем нагляно недостающие маршруты.
Для этого слегка отодвигаем отражающие стенки от крайних узлов ветвления,
совсем немного, не более чем на половину расстояния между узлами ветвления,
а диаметр шарика делаем меньше получившегося зазора.
Тогда шарик, попав на крайний узел ветвления, имеет два разных пути.
1. От узла ветвления в направлении центра доски (зеленый)
2. От узла ветвления в направлении стенки, с отражением от нее,
и возвратом на крайний узел ветвления следующего уровня. (красный)

Получилось два различных маршрута, которые разделились на крайнем узле ветвления,
и соединились на следующем крайнем узле ветвления.
Теперь приближая стенку к крайнему узлу ветвления,
видим, что эти два разных маршрута сближаются, и
в итоге, когда стенка проходит вплотную к узлу ветвления,
эти два разных маршрута - прямой и отраженный - сливаются в один.
Но их по-прежнему два.

Поэтому не один, а два шарика проходят по этому "два-в-одном" маршруту.

Отредактировано Лукомор (2023-05-19 11:02:54)

Хочу завершить эту тему здесь и сейчас,
и перейти к другим темам, которые терпеливо ждут своего звездного часа.

Прсле того, как мы показали, что  для правильного нахождения вероятности того, что
шарик окажется в данном узле ветвления, нужно удваивать количество маршрутов
от крайних боковых узлов ветвления по направлению к середине доски, оказалось, что
доска Гальтона с отражающими стенками совершенно не подходит для моделирования
случайного движения шашки по шахматной доске.

И тут самое время вспомнить, что в теории вероятностей в некоторых  задачах
о случайных блужданиях, рассматривают не отражающие, а поглощающие стенки.
Таковы, например, "задача о случайном блуждании пьяного у обрыва",
"задача о разорении игрока", и другие интересные задачи.

В отличие от отражающей стенки, где вероятность отскока внутрь всегда  равна единице,
в случае поглощающей стенки, шарик с вероятностью 1/2 отскакивает в направлении к
середине доски, и с вероятностью 1/2 отскакивает к стенке, и ...
прилипает, или проваливается, или сгорает, короче, в дальнейшем движении не участвует.

Мне больше нравится интерпретация, что шарик попав на стенку, выкатывается наружу,
и попадает в специальный карман-накопитель, типа биллиардной лузы.
В таком виде их можно пересчитать после окончания опыта, и сделать себе мнение
о вероятности попадания шарика на поглощающую стенку в конкретной точке.

Исходя из вышесказанного, посчитаем сначала полные вероятности нахождения
шарика в каждом узле ветвления траекторий, и в итоге,
в каждом кармане на нижнем уровне и в дополнительных карманах на боковых
поглощающих стенках.

Прошу прощения, на этом месте я ночью уснул, и теперь  продолжаю...

На рисунке выше найдены полные вероятности нахождения шарика в каждом крмане p(LN),
где L - буква, а N - цифра, кодирующая клетку (номер уровня),
в том числе, на красных полях полные вероятности того, что шарик  в этой  точке
выкатился в боковой карман..
Соответственно, в столбце под большой сигмой, посчитаны полные вероятности  P(N)
того, что шарик благополучно прошел уровень N,
а в столбце под сигмой маленькой, - полная  вероятность того, что шарик свалится
в боковой карман, на этом уровне, или на уровнях выше этого.

Числители всех вероятностей совпадают уже с количеством маршрутов шашек в данную
клетку, однако знаменатели все еще напоминают про шарики на доске с отражающими
стенками.
Чтобы свести бухгалтерию, зададим некоторое условие N, что шарик достиг
благополучно этого уровня с номером  N.
И посчитаем условную вероятность нахождения шарика в клетке LN,
при условии, что он успешно достиг уровня N.
P(LN | N) = P(LN)/P(N).

Снова  составим таблицу вероятностей, на этот раз условных:

Полученная цифирь теперь удовлетворяет и описанию случайного движения
шашки по шахматной доске, и описанию движению шарика по доске Гальтона
с поглощающими вертикальными стенками.

Задача решена, тема исчерпана.
Всем спасибо за внимание!.

Отредактировано Лукомор (2023-05-20 11:17:29)

На функцию рампределения не влияет...

Случайная...

Система управления движением шашки подбрасывает монетку.
Если выпадет орел, будет сделан ход с3-b4, если выпадет решка будет выбран ход с3-d4.
Итак, какой стороной детерминированно упадет монетка?

А такси, не маршрутные, отправляются от стоянки в случайные моменты времени,
и в случайном для  них направлении...
И это ты еще не видел движение маневровых тепловозов при формировании состава.
Они мало того, что движутся заранее непредсказуемо, но зачастую еще и не по правилам,
на запрещающий сигнал семафора - "по белому" на железнодорожном жаргоне
(белый сигнал семафора - запрещающий).