Это очень интересный случай, но для этого доска должна быть сразу пряямоугольной.
Я начал с простого случая, с треугольной доки Гальтона.
Для прямоугольной будет несколько разных вариантов,
в зависимости от ширины исходной доски.
В самом интересном случае будет равномерное распределение вариантов:
1.  1.  1 .... 1.  1.  1
. 2   2   2..2  2   2
....4   4   .. 4   4   4
  8   8   8...   8   8

Можно... но потом...
Потому что чудеса наступают не только с усложнением взаимовлияния шариков друг на друга, но и с изменением геометрической формы самой доски Гальтона, чем мы и займемся буквально сейчас, после небольшого перекура...

Я  извиняюсь...
"Меня отвлекали!" (с) Рома Березуев (на Сайлоге).

Но вот вам обещанные чудеса с геометрией доски Гальтона.
Разумеется,  с последующим их полным разоблачением,
как некогда в театре "Варьете" у Булгакова.

Итак, мы возьмем треугольную доску Гальтона,
и с некоторого уровня установим вертикальные перегородки,
так, что получится домик с вертикальными стенами и треугольной крышей.

Ну, для примера, я возьму пять уровней треугольной доски,
и далее ее ширина меняться не будет.

Вначале посчитаем количество различных возможных маршрутов шарика
в каждую точку ветвления. Разумеется, для вертикальной части доски ,
это количество уменьшится,
по сравнению с соответствующим слоем доски треугольной,
поскольку часть маршрутов обрежется.

Так в шестом слое их будет 30, вместо 32.
В седьмом слое -60, вместо 64, и этот дефицит маршрутов
будет возрастать от слоя к слою в геометрической прогрессии.
Найдем процент количества маршрутов в каждую точку ветвлениея,
по отношению к общему количеству маршрутов для данного слоя:
Для точек В6 и Н6 на картинке, это будет 5/30 = 1/6
Для точек D6 и F6 - 10/30 = 1/3
A7 и I7 = 5/60 = 1/12
С7 и G7 =15/60 = 1/4
Е7 = 20/60 =1/3

Отредактировано Лукомор (2023-05-11 23:47:44)

А вот это Шарперу в копилочку:
Шарик для пинг-понга на доске Гальтона:

ще движнгтн шарика

Ну, нормальная доска Гальтона, не битая, а так... под ремонт...
И вообще, кто сказал, что доска Гальтона - это фильтр?
Это ты еще не видел движение шарика по доске Гальтона в невесомости!

Отредактировано Лукомор (2023-05-12 12:18:03)

Я даже больше скажу, количество  неповторяющихся маршрутов тоже имеет
тенденцию к выравниванию по всей ширине, с увеличением высоты доски Гальтона
(количества слоев на которых маршруты разделяются).

И в этом ничего нет удивительного, поскольку с центрального ряда шарики уходят
влево/вправо, а им на смену приходит маньшее количество шариков,
поскольку из ряда соседнего с центральным тоько половина шариков возвращается,
а вторая половина уходит еще дальше от центра.
.
Удивительно тут то, что относительное число различных маршрутов через данную
точку ветвления и вероятность того, что шарик окажется в данной точке на своем пути,
имеют разную физическую природу, и сообразно с этим отличается динамика
их движения к  равновесному состоянию.

Так, например, количество возможных маршрутов через  данную точку постоянно
урезается краями доски. И прирастает только за счет маршрутов, пришедших в крайнюю
точку из центральных областей.
Это образно можно представить в виде кучи песка, из которой песок забирается с краев,
и куча из-за этого постепенно проседает под собственным весом.

Другое дело вероятность того, что шарик во время спуска по доске оказался
в данной точке ветвления. Дело в том, что в отличие от маршрутов из крайней точки,
от стенки, которых только один, количество шариков, выходящих по этому единственному маршруту -
удваивается, поскольку один шарик в этой точке и так ушел бы к центру, а второй
должен был бы уйти еще дальше от центра, но встретил на своем пути стенку, отразился
от нее и также ушел в направлении центра доски.
Один маршрут, но по нему идут два шарика, прямой и отраженный.
Так количество маршрутов от  стенки остается прежним, а количество шариков
проходящих по этим маршрутам, при подсчете удваивается.
Это можно сравнить с той же кучей песка, из которой песок не забирают, а наоборот,
досыпают его с краев.
Из-за чего превышение верхней точки  кучи над уровнем песка на краях уменьшается.

Теперь, если мы возьмем отношение числа маршрутов через данную точку,
к общему числу маршрутов на данном уровне (слое) и обозначим ее Q,
а вероятность того, что шарик на данном уровне окажется в той же точке
обозначим P, то отношение k=P/Q
окажется существенно выше, на краях, и незначительно выше в центральных областях.
причем еще и будет рости по краям гораздо быстрее, чем в центральных областях,
от слоя к слою.

В терминах Шарпера, маршруты на краях доски протаптываются гораздо интенсивнее,
чем в центральных областях, шарики гораздо охотнее топчутся по краям доски.

Механик, возможно, сказал бы, что на шарики действует некая
загадочная центробежная сила, увлекающая их от центра доски к краям.

Вот это и парадоксально, хотя, с учетом сказанного выше,  не удивительно.
И наша задача в этом парадоксе разобраться до конца.

Отредактировано Лукомор (2023-05-15 11:45:09)

Сейчас уже сформулирую! 
Точнее, строгой формулировки, в классическом виде : "вот истинное утверждение,
отрицание которого тоже есть истина." - не будет.
Вся эта тема выросла из обсуждения совсем другого вопроса
на более другом форуме семь лет назад.
И там она была не основной, изначально там рассматривлся просто вопрос выравнивания
вероятностей нахождения шарика в некоторой точке ветвления
на прямоугольной доске Гальтона с  увеличением количества ее уровней.
И все было чинно- благородно, и вероятности считались с учетом отражения шарика от
боковых вертикальных стенок, но пришел некий персонаж, и, размахивая классической
книгой Н.Я. Виленкина "Комбинаторика" начал всем рассказывать,
что вероятности мы  считаем неправильно.
Потому что, вот же, в книге есть задача о количестве различных маршрутов шашки
по шашечно-шахматной доске (рисунок из книги).

И различных маршрутов этих гораздо меньше,
чем вы тут себе нафантазировали, а поскольку прямоугольная доска Гальтона
моделирует как раз движение шашки по шахматной доске, то извольте
считать вероятности по книжному!
Вот, собственно, сюжетная линия, где нет парадокса, но парадоксальна сама ситуация,
где никакие аргументы на персонажа не действует, и в результате более чем годичного (!)
обсуждения удалось наглядно показать:
во-первых, что для иллюстрации именно движения шашки по шахматной доске
обсуждаемая модель лоски Гальтона не подходит вообще, а нужна доска Гальтона
той же формы, но совершенно иной конструкции - это было прсто;
и, во-вторых,  в той изначальной доске Гальтона, которая вообще не подходит,
найти и показать наглядно именно те недостающие маршруты, которых
"не видно, но они есть". Это также не сложно, но нужно немножко смекалки.
То-есть, оставаясь в рамках неправильной модели, найти правильный ответ
на правильно поставленный вопрос.

Отредактировано Лукомор (2023-05-17 11:30:38)

Это вопрос сложный, поскольку в том давнем обсуждении описание менялось каждый раз, когда топикстартеру не нравилось очередное решение.
То - есть, было решение, под которое никак не удавалось подогнать условия задачи.
Поэтому, доска Гальтона из треугольной приобрела форму "домика"
с верхней треугольной и нижней прямоугольной частью.
Цифирь для этого варианта я выкладывал выше. Следующий вариант, 
который мне хотелось бы здесь и сейчас рассмотреть, оказался последним,
дальше дрейфовать было некуда.
Сначала это шахматная доска, 8х8 клеток, по черным клеткам , случайным образом,
двигается шашка, прокладывая случайный маршрут от первой горизонтали до восьмой.
На одну из четырех черных клеток первого ряда шашка также выставляется
случайно и равновероятно.
Подсчет количества различных  маршрутов, проходящих через каждую клетку,
прилагаю.
/* Доска развернута на 180 градусов, для однообразия с соответствующей
доской Гальтона, где первый ряд вверху, а последний - внизу.

Аероятности, посчитанные двумя разными рассуждениями - отличаются,
в этом есть нечто парадоксальное...
или нет?

Понятно, что случайный маршрут шашки проходит ровно через одну клетку каждого ряда,
и взяв отношние количества различных маршрутов шашки через данную клетку,
к суммарному количеству различных маршрутов в данном ряду,
получим вероятность прохождения случайной шашки через данную клетку.
Вот я нарисовал эти вероятности уже:

Теперь соорудим прямоугольную доску Гальтона в форме шахматной доски,
где будет столько же уровней,  и столько же узлов ветвления, как и у шахматной доски и,
что самое главное, в крайних узлах ветвления шарик, попавший на край,
будет с вероятностью 1.0 отражаться внутрь доски. С учетом этого упрямого факта,
снова посчитаем вероятности прохождения шарика через каждый узел,
соответствующий клетке шахматной доски:

Отредактировано Лукомор (2023-05-17 19:07:19)