Еще в школьные годы, при изучении тригонометрии, меня коробило от того, что две близкие по смыслу теоремы имеют совершенно непохожее представление в виде формул.
Речь в этой теме пойдет о следующем.
Теорема синусов.
$$\large a/sin{\alpha}=b/sin{\beta }=c/sin{\gamma }=2R$$
Теорема косинусов
$$\large a^2+b^2-2abcos{\gamma} =c^2$$
Я решил преобразовать эти формулы к максимально похожему виду.
Начал я с теоремы косинусов.
Для  произвольного треугольника я трижды выписал формулу теоремы косинусов, циклически меняя углы и стороны.
$$\large a^2+b^2-2ab{cos{\gamma}} =c^2$$
$$\large b^2+c^2-2bc{cos{\alpha}} =a^2$$
$$\large c^2+a^2-2ca{cos{\beta}} =b^2$$
Затем я сложил три полученных равенства:
$$\large 2a^2+2b^2+2c^2-2ab{cos{\gamma}}-2bc{cos{\alpha}}-2ca{cos{\beta}} =a^2+b^2+c^2$$
Приведя подобные, я получил окончательную формулу "Теоремы Косинусов-Лукомора":
$$\large a^2+b^2+c^2-2ab{cos{\gamma}}-2bc{cos{\alpha}}-2ca{cos{\beta}} =0$$
После этого я попытался проделать похожее преобразование для теоремы синусов.
Сначала я попарно сложил исходные равенства:
$$\large a/sin{\alpha}+b/sin{\beta }=c/sin{\gamma }+2R$$
Затем я освободился от знаменателей:
$$\large asin{\beta}sin{\gamma}+bsin{\alpha }sin{\gamma}=csin{\alpha }sin{\beta}+2Rsin{\alpha}sin{\beta}sin{\gamma}$$
Я записал полученное выражение трижды, циклически меняя стороны и углы:
$$\large asin{\beta}sin{\gamma}+bsin{\alpha }sin{\gamma}=csin{\alpha }sin{\beta}+2Rsin{\alpha}sin{\beta}sin{\gamma}$$
$$\large bsin{\alpha }sin{\gamma}+csin{\alpha }sin{\beta}=asin{\beta}sin{\gamma}+2Rsin{\alpha}sin{\beta}sin{\gamma}$$
$$\large csin{\alpha }sin{\beta}+asin{\beta}sin{\gamma}=bsin{\alpha }sin{\gamma}+2Rsin{\alpha}sin{\beta}sin{\gamma}$$
Сложив три полученных равенства, получаю:
$$\large 2asin{\beta}sin{\gamma}+2bsin{\alpha }sin{\gamma}+2csin{\alpha }sin{\beta}=asin{\beta}sin{\gamma}+bsin{\alpha }sin{\gamma}+csin{\alpha }sin{\beta}+6Rsin{\alpha}sin{\beta}sin{\gamma}$$
Приведя подобные, я получил окончательную формулу "Теоремы Синусов-Лукомора":
$$\large asin{\beta}sin{\gamma}+bsin{\alpha }sin{\gamma}+csin{\alpha }sin{\beta}-6Rsin{\alpha}sin{\beta}sin{\gamma}=0$$
Анализируя полученные формулы видим, что они получили максимально похожий вид.
В правой части обоих выражений находится число ноль.
В левой части, с учетом коэффициентов, по три положительных слагаемых, и по шесть отрицательных.
Теперь мы можем еще сложить эти две итоговые формулы, и получить обобщенную формулу "Теоремы Треугольника-Лукомора"
$$\large a^2+b^2+c^2-2ab{cos{\gamma}}-2bc{cos{\alpha}}-2ca{cos{\beta}}+asin{\beta}sin{\gamma}+bsin{\alpha }sin{\gamma}+csin{\alpha }sin{\beta}-6Rsin{\alpha}sin{\beta}sin{\gamma} =0$$
Полученная формула связывает в единое уравнение все элементы треугольника: три стороны, три угла, и радиус описанной окружности.
Это поистине формула Великого Тригонометрического Объединения!

Отредактировано Лукомор (2021-02-23 00:39:26)