И пришлось Лукомору осваивать всякие мудреные треугольные координаты.
Впрочем, мудреные штуки эти оказались довольно простыми и логически обоснованными.

Начать лучше с трилинейных координат.
Если выбрать точку Р внутри треугольника, и соединить ее с тремя вершинами,
то треугольник поделится на три меньших треугольника.
В каждом из этих новых треугольников можно опустить высоту из точки Р на основание,
которым в данном случае будет одна из сторон треугольника.

Тройка чисел, равных высотам трех треугольников, взятая через знак отношения,
- это и есть трилинейные координаты точки внутри треугольника (x : y: z).
Для пифагорова треугольника две из трех трилинейных координат у меня получились, когда я решал систему уравнений,
для нахождения точки равных маршрутов.

Это были
x=200; y=210;
Я нашел высоту третьего треугольника:
z=264
и составил трилинейные координаты интересовавшей меня точки:
( 200 : 210 : 264)
-------------------------------------------------------
Теперь найдем барицентрические координаты точки Р.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Мы можем найти площади всех трех треугольников,
поскольку знаем высоты и длины сторон.
Площади трех треугольников, записанные через знак отношения есть барицентрические координаты точки ( α : β : γ ).
Площадь нашего пифагорова треугольника равна:
S = 920х690/2 = 317400.
Площади составляющих его треугольников равны:
α = 690х200/2 = 69000;
β = 920х210/2 = 96600;
γ = 1150х264/2 = 151800;
Сумма трех этих площадей равна площади всего пифагорова треугольника,
значит все предыдущие расчеты были правильны.
Можем составить барицентрические  координаты точки Р:
( 69000 : 96600 : 151800).
Поскольку трилинейные и барицентрические координаты суть отношения чисел,
компоненты этих координат можно делить или умножать на одно и то же число.
Например, полученные трилинейные координаты можно сократить на 2:
( 200 : 210 : 264) = (100 : 105 : 132),
а барицентрические координаты можно сократить аж на 13800 :
( 69000 : 96600 : 151800 ) = ( 5: 7: 11 ).

Отредактировано Лукомор (2019-03-24 00:17:56)

Ась?! 
Я спросонья не разобрал последнее замечание! 
Или это был риторический вопрос??? 

Отредактировано Лукомор (2019-03-24 07:43:10)

И вот, вооружившись цифирью, найденной собственноручно, хотя бы и для одного удобного примера,
я погрузился в энциклопедию, ссылка-картинка на которую дана на предыдущей странице....
Следует заметить, что свои цифирки я не совал куда попало, в каждую формулу,
ведь для подавляющего большинства точек, описанных в статьях этой, отличной от других, энциклопедии,
было из контекста сразу ясно:"Не оно!"...
Но примерно каждую десятую-двенадцатую приходилось проверять.

Замечательные точки треугольника там обозначены буковкой Х, и порядковым номером этой самой Х в скобках,
Когда я добрался до Х(176), я понял, - это оно!
Я нашел заклинание, вызываюшее в Гуглопоиске "Результатов: примерно 5 980 000 (0,35 сек.)"!!!

equal detour point

detour, мля!!! 

Обьезд... обход...
В подсознании у меня это уже было:
"Нормальные герои всегда идут в обход!"
Но хрен его, это подсознание, поймешь!
Оно, как тот скрипач,  "говорит на языках, продолжения которых не знает" (© "Кин-Дза-Дза")

...обходной путь...окольный путь...крюк!!!
Сразу вспомнилось, почему-то, из морских рассказов Леонида Соболева:
" "Айрон Дьюк", чёртов крюк!"...

Придумали же слово, аспиды!

Зато теперь я знал про "мою" точку всё!
И самое интересное, из этого всего, я расскажу здесь прямо сейчас.

Отредактировано Лукомор (2019-03-25 04:12:44)

Дам, всех почти, вы уже давно распугали! 
А  без иллюстраций эта тема останется не раскрытой... 
Ну хорошо, эротические точки треугольника я буду зацензуриввать черными квадратиками Малевича 

Отредактировано Лукомор (2019-03-25 12:06:44)

...и бермудские треугольники...

Отредактировано Лукомор (2019-03-25 10:26:28)

Я начну издалека, с Древней Греции.
Древние греки придумали демократию, Олимпийские игры и построили Большого Деревянного Коня.
В древней Греции не было коммивояжеров, но было много геометров.

Один из трех самых выдающихся геометров древней Греции - Аполлоний Пергский,
который был известен на древнегреческих форумах под ником "Эпафай"
придумал и решил следующую задачу:

задача дошла до нашего времени, а решение Аполлония было утеряно почти на две тысячи лет.
-----------------------------------------------------------
Средневековые европейцы придумали инквизицию, чуму, и открыли Америку.
В средние века коммивояжеров также еще не было, однако геометры были не менее выдающиеся, чем в Древней Греции.

В 1600 году француз Франсуа́ Вие́т, сеньор де ля Биготьер,
известный на средневековых форумах под ником "Франциск Виета",
которого за успехи в геометрии современники называли  галльским Аполлонием,
нашел все 8 решений  античной задачи:

Еще через 43 года другой остроумный француз Рене́ Дека́рт (фр. René Descartes),
известный на средневековых форумах под ником "Картезий" рассмотрел частный случай задачи Апполония,
когда три данных окружности попарно касаются друг друга, и нужно найти четвертую, которая касается каждой из трех.
оказалось, что для этого частного случая, справедливы будут только 2 решения, из 8 найденных Виетом:
когда искомая окружность находится внутри трех данных, и когда три данных окружности находятся внутри искомой:

На рисунке - данные в условии окружности - черные, а решения - красные.
Современники послушали Декарта, похмыкали, и разошлись заниматься более насущными практическими делами:
открывать философский камень и изобретать вечный двигатель...
Самого Декарта, говорят, по доброй средневековой традиции отравили мышьяком,
а теорему его, о трех попарно касающихся окружностях, благополучно забыли еще на 300 лет.

Отредактировано Лукомор (2019-03-25 14:41:10)

Не только.
Это замечание относится к исходной задаче Апполония,
В задаче, которую решал Декарт, не может быть концентрических окружностей,
но решения нет, если, например, три окружности касаются друг друга в одной точке.

Отредактировано Лукомор (2019-03-25 11:59:55)

Да ладно! 
Обычный интроцикл: