Итак, если взять равносторонний треугольник АВС, и точку Р разместить в точке пересечении медиан,
она же точка пересечения биссектрис, она же точка пересечения высот, опущенных из вершин,
и точку Р соединить с каждой из вершин треугольника, то получится элегантная фигура,
старинный символ древней Германии, который носит поэтическое название - "Глаз Дракона".

Мы можем проложить три замкнутых маршрута по этому графу:
1.
2.
3.
И все эти три маршрута будут иметь одинаковую длину.
Если сторона треугольника равна а, то длина любого из трех маршрутов будет равна

Отредактировано Лукомор (2019-03-20 07:30:43)

Извини, я опять спросонья! 
О каком унижении идёт речь?
И почему этому "суке смайлику" опять смешно?!
------------------------------------------------------------
На всякий случай, если взять самый последний маршрут:
3.
и положить АС=ВС=а,
то, для равностороннего треугольника длины отрезков АР и ВР (радиусы описанной окружности!) будут равны:

Соответственно, длина замкнутого маршрута САРВС будет равна:
СА+АР+РВ+ВС=
Так понятно?
Остальные два замкнутых маршрута будут ровно то же самое,
только повернуты на 120 градусов \по или \против часовой стрелки относительно только что рассмотренного.

Отредактировано Лукомор (2019-03-20 07:42:37)

Осталось сделать еще одно маленькое замечание по правильному треугольнику:
все приведенные выше рассуждения по точке Р находящейся на линии ОС,
в равной степени применимы и к точке Р, находящейся на линии ОВ и на линии ОА.
--------------------------------------
С учетом всего вышеизложенного, мы уже можем завершить рассмотрение правильного треугольника,
закрасив все четыре белых пятна на плоскости, которые определяют кратчайший маршрут через фиксированные точки А,В, и С,
и точку Р, в зависимости от места расположения точки Р.

Если точка Р находится внутри области красного цвета, то кратчайшим из трех замкнутых маршрутов будет маршрут РАВСР.
Если точка Р находится внутри области зеленого цвета, то кратчайшим из трех замкнутых маршрутов будет маршрут РВСАР.
Если точка Р находится внутри области синего цвета, то кратчайшим из трех замкнутых маршрутов будет маршрут РСАВР.
Если точка Р находится на границе двух областей, то будет два равных кратчайших маршрута, третий маршрут через такую точку будет длиннее тех двух.
Если точка Р совпадает с точкой О, все три возможных маршрута   будут иметь равную длину.
По правильному треугольнику всё.
Идем дальше!

Отредактировано Лукомор (2019-03-20 11:39:55)

Аж никак! 
Я тут поцитирую немножко себя, любимого, двумя страницами ранее, в этой же теме:

Смысл данного пассажа в том, что рассмотрение чисто геометрической задачи,
которая мне встретилась при рассмотрении задачи коммивояжера, и на которую я отвлекся этой зимой,
конечно, стоит отдельной темы, но я ее засунул сюда, чтобы не терять контроль над ситуацией в целом...

Отредактировано Лукомор (2019-03-20 15:45:58)

Я сплю крайне мало... но часто! 

"А чего сразу Лукомор?!"
© Лукомор 

Так я же всё порешал уже!!   
Просто я теперь не разжёвываю, как арифметику в школе. 
Так, направление указал... приблизительно... дальше сами не маленькие, решайте... 
Результаты сравним! 

Да ладно, пошутил я! 
------------------------------------------------------
Вот прямо сейчас переходим к рассмотрению кратчайшего пути на равнобедренном треугольнике с точкой Р внутри него,
чтобы сформулировать антитезис к тезису Шарпера о том, что три маршрута будут равны, когда точка Р совпадает с центром описанной окружности.
Этот тезис исключительно верный, но исключительно для равностороннего треугольника.

Равнобедренный треугольник я, для упрощения дальнейших рассуждений, составлю из двух пифагоровых, со сторонами 3, 4, 5,
примкнув их, для начала, меньшими катетами  друг к другу.
Ну и добавлю, на свой вкус, масштабный коэффициент, например 15, просто, чтобы не путаться с дробями постоянно.
Такой коэффициент обеспечит нам целые числа для координат опорных точек, по крайне мере для первых двух задач.

Получившийся  биПифагоров равнобедренный треугольник разместим так,
чтобы его основание AA', длина которого составляет 15*(4+4)= 120, располагалось горизонтально,
а высота, BC, опущенная из вершины, противолежащей основанию, и равная 15*3= 45, - вертикально.
Боковые стороны ВА и ВА', будут равны 15*5= 75, каждая..

Сразу можно заметить, что
если точка Р лежит на прямой ВС,
то два из трех маршрутов будут равны по длине:
L(APBA'A)=L(ABPA'A).
Теперь на этой прямой нам нужно найти точку,
поместив в которую нашу точку Р,
получим тройное равенство:
L(APBA'A)=L(ABPA'A)=L(ABA'PA).
Сразу отпадает центр описанной окружности,
он лежит вне треугольника, на продолжении прямой ВС,
поэтому маршрут по периметру получившегося четырехугольника будет короче,
чем маршруты, содержащие диагонали,
которые (маршруты, не диагонали), в свою очередь, будут равны между собой.

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 04:20:57)