Содействие - исключение из 3-го закона Ньютона.

Амальгама

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Амальгама » Лукоморье 2.0 » Другая тень


Другая тень

Сообщений 121 страница 150 из 264

121

#p99937,Лукомор написал(а):

L(APBA'A)=L(ABPA'A)=(ABA'PA).

и лечь в центр пентаграммы !!!

0

122

#p99956,лукаш написал(а):

и лечь в центр пентаграммы !!!

Не-не, это еще не пентаграмма, а триграмма,
и это еще не заклинание, вызывающее могучего духа Гугльпоиска...

0

123

#p99958,Лукомор написал(а):

а триграмма,
вызывающее могучего духа Гугльпоиска...

с трех граммов и такой могучий дух ?
видать вчера принял крепко !!!

+1

124

#p99958,Лукомор написал(а):

еще не пентаграмма

пентаграмма - пентаграмма !!
просто она адаптированная
на такой лежать - одно удовольствие
на пляже можно от солнышка скрыться
или замаскировать ...тссс

0

125

#p99967,лукаш написал(а):

или замаскировать ...тссс

Не-не, зачем маскировать?
У нас есть что показать!  http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/yahoo.gif

0

126

#p99967,лукаш написал(а):

пентаграмма - пентаграмма

*в сторону, напевает*
"А я маленький такой..."

0

127

*и маленький подбегает*

0

128

Сразу можно заметить, что
если точка Р лежит на прямой ВС,
то два из трех маршрутов будут равны по длине:
L(APBA'A)=L(ABPA'A).
Теперь на этой прямой нам нужно найти точку,
поместив в которую нашу точку Р,
получим тройное равенство:
L(APBA'A)=L(ABPA'A)=L(ABA'PA).
Сразу отпадает центр описанной окружности,
он лежит вне треугольника, на продолжении прямой ВС:
http://sg.uploads.ru/BO7Wz.jpg
, - поэтому маршрут по периметру получившегося четырехугольника будет короче,
чем маршруты, содержащие диагонали,
которые (маршруты, не диагонали), в свою очередь, будут равны между собой.
http://sh.uploads.ru/B8vAZ.jpg
http://sh.uploads.ru/i7tDN.jpg
http://sh.uploads.ru/YERSM.jpg

0

129

#p99987,Лукомор написал(а):

Сразу можно заметить, что

... что всё вышеописанное справедливо для любого выпуклого многогранника.

0

130

Для единства обозначений я нумерую маршруты следующим образом:

1. АВА'РА
2. АА'РВА
3. АРВА'А

Мы уже выяснили, что длины второго  и третьего маршрута будут равны между собой,
L2=L3,
если точка Р будет лежать на прямой ВС, или ее продолжении.
теперь нам нужно найти еще две линии,  нахождение на которых точки Р дает равенство первого маршрута со вторым ,
и первого маршрута с третьим.
L1=L2
L1=L3
Точка пересечения всех трех линий даст нам равенство длин всех трех маршрутов.
L1=L2=L3.
Одну линию мы знаем точно, это прямая ВС.
Что мы знаем о двух других линиях.
1. Они симметричны относительно прямой ВС.
2. Они проходят через вершины треугольника А и А' соответственно.
3. В любой точке, лежащей на этой линии выполняется равенство:
АР-ВР=АА'-BA',  (cоответственно, А'Р-ВР=А'А-ВА).
Линия, удовлетворяющая этому третьему условию называется ГИПЕРБОЛОЙ.

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 05:36:44)

0

131

#p99989,Ал написал(а):

... что всё вышеописанное справедливо для любого выпуклого многогранника.

Если угол при вершине В будет меньше 90 градусов, то четырехугольник не будет выпуклым,
точка Р будет лежать внутри треугольника, но всё, сказанное после процитированного, будет справедливым.
Я для этого случая и писал всё это, а уже потом, после оперативного вмешательства DL, четырехугольник внезапно оказался выпуклым...  http://www.kolobok.us/smiles/artists/laie/LaieA_016.gif

0

132

- А мы продолжаем наш "Огонёк" и подходим к столику с молодым
комбайнёром Талгатом Такойтовичем. Скажите, как вам удалось намолотить
100 тысяч тонн зерна на картофельном поле?

0

133

#p99996,лукаш написал(а):

с молодым
комбайнёром Талгатом Такойтовичем. Скажите, как вам удалось намолотить
100 тысяч тонн зерна на картофельном поле?

Дык, молодой ишшо, неопытный, потому и намолотил...  http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/yahoo.gif

0

134

#p99990,Лукомор написал(а):

Линия, удовлетворяющая этому третьему условию называется ГИПЕРБОЛОЙ.

Я тут пока черновик эскиза приклею, потом заменю на более смотрибельный.  http://www.kolobok.us/smiles/artists/laie/LaieA_063.gif
Не судите строго, не было под рукой Кисы Воробьянинова, чтобы его обвести по контуру тени.  http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/unknw.gif
Эскиз получился в стиле импрессионистов, либо слишком ранних, либо безнадежно поздних...  http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/pleasantry.gif
http://s3.uploads.ru/XxhDO.jpg
http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/yahoo.gif

/после того, как все отсмеялись...

Характеристики получившейся гиперболы для данного числового примера следующие.
Фокусами гиперболы будут вершины треугольника А и В.
Действительная ось гиперболы совпадает со стороной АВ.
Центр гиперболы лежит на средине стороны АВ.
Фокальное расстояние (от центра гиперболы до каждого фокуса равно половине длины стороны АВ.
В нашем случае это 37.5 единиц длины (надо было масштабный коэффициент выбрать не 15, а 30.
Тогда сторона АВ была бы 150, а фокальное расстояни =75).
Вершина гипрболы Р делит сторону АВ на два отрезка АР и ВР так, что АР-ВР=АА'-BA'.
В нашем примере АА'-BA'=120-75=45.
Поэтому АР=60, ВР=15, и равенство выполняется.
Большая полуось гиперболы (расстояние от центра до точки Р) равна 22,5 ед.д, находим эксцентриситет,
как отношение фокального расстояния к длине большой полуоси:
http://s5.uploads.ru/EktTq.gif

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 09:14:27)

+2

135

#p100000,Лукомор написал(а):

Характеристики получившейся гиперболы для данного числового примера следующие.

ты раньше знал
а нам мозги пудрил триграммно !!!

0

136

Чтобы найти точку пересечения гиперболы с прямой ВС,
я выбрал координатную систему с началом координат в точке С,
И осями, направленными вдоль прямой AA' (ось Х), и СВ(ось Y).
Можно решить задачу "в лоб"выписав в явном виде уравнения гипербол,
но это муторно до невозможности,  а "нормальные герои всегда идут в обход!" .
Поэтому я записал уравнения трех окружностей, с центрами в вершинах треугольников,
а радиусы окружностей выбрал такими, что у окружностей с центрами в основании треугольника они больше,
чем  у окружности с центром в вершине  на 45 ед.длины.
Это обеспечит равенство всех трех маршрутов.
Получилась система из трех уравнений с тремя неизвестными,
двумя координатами (x,y) точки пересечения двух гипербол с прямой ВС,
и радиусом меньшей из окружностей - это есть расстояние от точки пересечения до вершины В.
http://s8.uploads.ru/MKJU4.gif
Решив систему уравнений, и отбросив лишние корни, получил:
х= 0;
y= 25;
r= 20;

Это означает, что искомая точка Р пересечения гипербол лежит на прямой ВС,
на расстоянии 25 от точки С и 20 от вершины В.
Расстояния АР и А'Р равны 65 ед.длины.
Проверяем полученное решение
http://sd.uploads.ru/WgTpX.jpg
на равенство маршрутов:
http://s7.uploads.ru/z21sx.jpg
http://s7.uploads.ru/5bFlS.jpg
http://s7.uploads.ru/DEsGX.jpg
Если точка Р находится там, где ей предписывает находиться решение уравнения,
то каждый из трех маршрутов имеет длину 280 ед.длины.

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 11:02:42)

0

137

#p100002,лукаш написал(а):

ты раньше знал

Конечно знал, но интригу держал до последнего!  http://www.kolobok.us/smiles/standart/boast.gif

0

138

Теперь, в рамках этого числового примера на равнобедренный треугольник,
мне осталось только разрисовать плоскость на три области,
так что при попадании точки Р в одну из этих областей получается кратчайший путь, единый для всей этой области.
А при попадании точки Р в другую область кратчайший путь будет другой.
в принципе это деление на области будет мало отличаться от аналогичного действа с равносторонним треугольником.
только точка пересечения сместится чуть выше, к вершине, да вместо трех прямых будут прямая и две симметричных гиперболы.
А так-то ничего принципиально нового.
http://sg.uploads.ru/t/Odk8G.jpg
Мне еще понадобятся барицнтрические и и трилинейные координаты точки пересечения гипербол,
но я их посчитаю один раз, когда буду искать эту точку в пифагоровом треугольнике.

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 22:01:11)

0

139

от такого и слышу вижу

0

140

#p100009,лукаш написал(а):

от такого и слышу вижу

гы-гы!  http://www.kolobok.us/smiles/artists/laie/LaieA_013.gif

0

141

#p100006,Лукомор написал(а):

барицнтрические и и трилинейные

интонация убедительная !!!

0

142

Я сейчас для сравнения тут же приведу еще один пример на  равнобедренный треугольник.
Я его снова сконструирую из двух пифагоровых треугольников в том же масштабе, только сложу их не меньшими,
а большими катетами.
http://s9.uploads.ru/oEAhn.jpg
Это даст угол при вершине меньше прямого, порядка 74 градусов,
и "хорошие" решения уравнения с целыми числами в ответе.

Снова будет прямая и две гиперболы.
Точку их пересечения найду из уравнения:
http://s7.uploads.ru/j5bwo.gif
подходящее решение этого уравнения:
x=0;
y=24;
r=36;

Вот так выглядит граф на котором все три маршрута равны в данном случае:
http://s7.uploads.ru/t/XGx2T.jpg
Он такой же, как и в первом примере, только гипербола ближе к прямой линии,
потому что угол при вершине ближе к 60 градусам, хотя и остается больше 60 градусов.
И это не то, что я хотел от этого второго примера.
Я хотел показать, что если угол при вершине меньше 60 градусов,
то гиперболы, а вместе с ними и области решений выгнутся в другую сторону от центра.
Но, видимо, не судьба.
Хотя, впрочем, почему не судьба?
Я сюда чуть позжее,
вставлю просто фотографию из своего рисовального альбома,
с таким именно треугольником и областями решения.
Да вот и рисунок:
http://s3.uploads.ru/t/jceG9.jpg
Видно, что гиперболы выпуклы  от основания, и вогнуты к более длинным боковым сторонам.
при угле при вершине ьолее 60 градусов гиперболы будут наоборот вогнуты к основанию, и выпуклы от боковых сторон.

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 07:20:46)

0

143

Мне осталось рассмотреть еще один пример, где все три стороны треугольника будут иметь разную длину.
После этого я раскрою все карты, и эта маленькая частная тема, слабо относящаяся к задаче коммивояжера,
будет полностью исчерпана и завершена.
Я возьму для этого примера известный всем пифагоров, или египетский, прямоугольный треугольник, со сторонами 3, 4, 5.
Только я сразу умножу стороны на коэффициент 230, чтобы избавиться от дробей в решениях, и получу все необходимые характеристики в целых числах.
То-есть треугольник будет иметь стороны:
ВС=690
АС=920
АВ=1150,
и прямой угол при вершине С.
http://s3.uploads.ru/r80pl.jpg
Поскольку все три стороны треугольника имеют разные длины,
искомая точка будет лежать на пересечении трех гипербол.
Что мы знаем об этих гиперболах apriori ?
Все они пересекаются в некоторой точке О,
и все три маршрута, проходящих через эту точку и три вершины треугольника,
будут иметь равную длину.
http://sh.uploads.ru/aeHyg.png
Фокусами гипербол будут вершин треугольника, поэтому центрами гипербол будут средины сторон треугольника.
А сами стороны треугольника будут действительными осями соответствующих гипербол.
http://sd.uploads.ru/DbtOM.jpg
Гипербола, проходящая через точки А и О, пересекает сторону ВС в точке L, отстоящей от вершины С на 230 ед.длины.
Гипербола, проходящая через точки В и О, пересекает сторону АС в точке M, отстоящей от вершины С на 230 ед.длины.
Гипербола, проходящая через точки С и О, пересекает сторону АВ точке N, отстоящей от вершины В на 460 ед.длины.
Эксцентриситет гиперболы, проходящей через АОL равен 345/115 = 3.
Эксцентриситет гиперболы, проходящей через ВОM равен 460/230 = 2.
Эксцентриситет гиперболы, проходящей через CОN равен 575/115 = 5.
Для того, чтобы найти точку пересечения гипербол, я выбираю систему координат с началом координат в точке С.
Ось Х я направляю вдоль стороны СА, ось Y - вдоль стороны СВ.
У меня есть три способа найти эту точку.
Способ №1.
Я могу записать уравнения двух гипербол непосредственно, в силу того, что их главные оси совпадают с осями Х и Y.
http://sg.uploads.ru/HzhBA.gif
Этот способ неудобен если треугольник не прямоугольный.
Способ №2:
Как и в предыдущих примерах, записываю уравнения трёх окружностей, с радиусами, равными разности соответствующих сторон:
http://s8.uploads.ru/jtMI6.gif
Это, пожалуй, самый удобный и универсальный способ.
Независимо от того, какой способ мы выбираем, решение будет следующее.
x=200;
y=210;
Для второго способа еще и:
r=290;

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 11:32:32)

0

144

Вот окончательное решение для пифагорового треугольника в моём масштабе:
http://sg.uploads.ru/K7aNQ.jpg
Можно заметить, что три пары отрезков имеют одинаковую сумму длин отрезков:
L(AP+BC) = L(BP+AC) = L(CP+AB) = 1400;
Вот три различных маршрута,
убеждаемся, что они равны:
http://s8.uploads.ru/R8a6D.jpg
http://sd.uploads.ru/IcLtr.jpg
http://s9.uploads.ru/18Q45.jpg

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 17:34:41)

0

145

А вот  - области, попадание точки Р в одну из которых, делает один из путей - кратчайшим:
http://s9.uploads.ru/t/RiYhK.jpg

Если точка Р находится в красной области- кратчайшим будет путь АВРСА;
Если точка Р находится в зеленой области- кратчайшим будет путь ВСРАВ;
Если точка Р находится в синей области- кратчайшим будет путь САРВС;
Если точка Р находится на гиперболе - границе двух областей разных окрасок,
то будет два соответствующих одинаковых кратчайших маршрута.
Если точка Р находится на пересечении трех гипербол, будет три равных по длине маршрута.
Характерная особенность: гипербола , разделяющая две стороны треугольника
будет всегда вогнутой в сторону большей стороны, и выпукла от меньшей стороны.
Поэтому на рисунке две гиперболы вогнуты в сторону гипотенузы,
и две гиперболы выпуклы со стороны меньшего из катетов.
Если две стороны равны - между ними будет просто прямая линия вместо гиперболы,
как мы видели это на примере равностороннего и равнобедренных треугольников.

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 18:56:43)

0

146

Переходим к части  заключительной.
Я выяснил, что в любом треугольнике есть точка, такая,
что три маршрута проходящие через эту точку и три вершины треугольника равны.
Я нашел способ находить эту точку в произвольном треугольнике.

И я хотел узнать об этой точке несколько более подробно.
Но все мои поисковые запросы, типа "точка пересечения гипербол", "равные длины маршрутов", и даже "equidistant point",
либо не приносили ничего существенного, либо натыкались на  вопрос: "Как найти эту точку?", - задаваемый на математических форумах. 
И на обсуждение без конкретного ответа.
Причем я понял две вещи:
- что эта точка кому-то зачем-то нужна;
- что ищут её тупым численным перебором, подгонкой с требуемой точностью.

Поняв, что я ничего не найду в интернете слепым поиском, я решился на отчаянный шаг.
Я уже знал, что в интернете есть
http://sg.uploads.ru/YI1rV.gif
(для перехода в энциклопедию кликнуть по картинке!)  http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/yahoo.gif
В этой онлайн энциклопедии собраны и описаны почти 32 тысячи замечательных точек,
связанных каким-либо образом с произвольным треугольником.
Я был уверен, что "моя" точка там тоже описана, но читать всю энциклопедию, состоящую
чуть больше чем полностью из чисел и ужасных формул, с редким вкраплением английских слов
мне показалось нереальным вообще.

У меня на тот момент не было никакой общей формулы для этой точки,
а были лишь ее декартовы численные координаты, и то, только для одного единственного пифагорова треугольника (3,4,5).
И я решил сократить поиск, подставляя в формулу для каждой точки из энциклопедии свои координаты.

Однако у этой энциклопедии есть одно маленькое неудобство:
координаты всех замечательных точек приведены в барицентрических и в трилинейных координатах.  http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/dash1.gif
В основном и в тех и в других, хотя для некоторых точек есть только одно представление, либо то, либо другое.

Адски ругая "британских учоных",
которые в этом случае были совершенно ни при чем,
поскольку энциклопедия составлена американцем,
я таки нашел необходимые координаты хотя бы и для одного треугольника.
Об этом я сейчас расскажу.

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 19:56:21)

0

147

и все испортил ((

0

148

#p100060,лукаш написал(а):

и все испортил ((

Что испортил?!
Где испортил?!
Когда испортил?!
http://www.kolobok.us/smiles/light_skin/shok.gif

0

149

ни кто
не хотел
знать ответ
все
хотели следить за процессом !!!
и ТУТ явился ....
блинскийнафиг - типа , вот вам и всё

хоть отписывайся от пятой страницы  (((

0

150

#p100062,лукаш написал(а):

хотели следить за процессом !!!

- Поручик, вы любите детей?
- Нет! Но сам процесс!

0


Вы здесь » Амальгама » Лукоморье 2.0 » Другая тень