Не-не, это еще не пентаграмма, а триграмма,
и это еще не заклинание, вызывающее могучего духа Гугльпоиска...

Сразу можно заметить, что
если точка Р лежит на прямой ВС,
то два из трех маршрутов будут равны по длине:
L(APBA'A)=L(ABPA'A).
Теперь на этой прямой нам нужно найти точку,
поместив в которую нашу точку Р,
получим тройное равенство:
L(APBA'A)=L(ABPA'A)=L(ABA'PA).
Сразу отпадает центр описанной окружности,
он лежит вне треугольника, на продолжении прямой ВС:

, - поэтому маршрут по периметру получившегося четырехугольника будет короче,
чем маршруты, содержащие диагонали,
которые (маршруты, не диагонали), в свою очередь, будут равны между собой.

Для единства обозначений я нумерую маршруты следующим образом:

1. АВА'РА
2. АА'РВА
3. АРВА'А

Мы уже выяснили, что длины второго  и третьего маршрута будут равны между собой,
L2=L3,
если точка Р будет лежать на прямой ВС, или ее продолжении.
теперь нам нужно найти еще две линии,  нахождение на которых точки Р дает равенство первого маршрута со вторым ,
и первого маршрута с третьим.
L1=L2
L1=L3
Точка пересечения всех трех линий даст нам равенство длин всех трех маршрутов.
L1=L2=L3.
Одну линию мы знаем точно, это прямая ВС.
Что мы знаем о двух других линиях.
1. Они симметричны относительно прямой ВС.
2. Они проходят через вершины треугольника А и А' соответственно.
3. В любой точке, лежащей на этой линии выполняется равенство:
АР-ВР=АА'-BA',  (cоответственно, А'Р-ВР=А'А-ВА).
Линия, удовлетворяющая этому третьему условию называется ГИПЕРБОЛОЙ.

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 05:36:44)

Я тут пока черновик эскиза приклею, потом заменю на более смотрибельный. 
Не судите строго, не было под рукой Кисы Воробьянинова, чтобы его обвести по контуру тени. 
Эскиз получился в стиле импрессионистов, либо слишком ранних, либо безнадежно поздних... 

/после того, как все отсмеялись...

Характеристики получившейся гиперболы для данного числового примера следующие.
Фокусами гиперболы будут вершины треугольника А и В.
Действительная ось гиперболы совпадает со стороной АВ.
Центр гиперболы лежит на средине стороны АВ.
Фокальное расстояние (от центра гиперболы до каждого фокуса равно половине длины стороны АВ.
В нашем случае это 37.5 единиц длины (надо было масштабный коэффициент выбрать не 15, а 30.
Тогда сторона АВ была бы 150, а фокальное расстояни =75).
Вершина гипрболы Р делит сторону АВ на два отрезка АР и ВР так, что АР-ВР=АА'-BA'.
В нашем примере АА'-BA'=120-75=45.
Поэтому АР=60, ВР=15, и равенство выполняется.
Большая полуось гиперболы (расстояние от центра до точки Р) равна 22,5 ед.д, находим эксцентриситет,
как отношение фокального расстояния к длине большой полуоси:

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 09:14:27)

Чтобы найти точку пересечения гиперболы с прямой ВС,
я выбрал координатную систему с началом координат в точке С,
И осями, направленными вдоль прямой AA' (ось Х), и СВ(ось Y).
Можно решить задачу "в лоб"выписав в явном виде уравнения гипербол,
но это муторно до невозможности,  а "нормальные герои всегда идут в обход!" .
Поэтому я записал уравнения трех окружностей, с центрами в вершинах треугольников,
а радиусы окружностей выбрал такими, что у окружностей с центрами в основании треугольника они больше,
чем  у окружности с центром в вершине  на 45 ед.длины.
Это обеспечит равенство всех трех маршрутов.
Получилась система из трех уравнений с тремя неизвестными,
двумя координатами (x,y) точки пересечения двух гипербол с прямой ВС,
и радиусом меньшей из окружностей - это есть расстояние от точки пересечения до вершины В.

Решив систему уравнений, и отбросив лишние корни, получил:
х= 0;
y= 25;
r= 20;
Это означает, что искомая точка Р пересечения гипербол лежит на прямой ВС,
на расстоянии 25 от точки С и 20 от вершины В.
Расстояния АР и А'Р равны 65 ед.длины.
Проверяем полученное решение

на равенство маршрутов:



Если точка Р находится там, где ей предписывает находиться решение уравнения,
то каждый из трех маршрутов имеет длину 280 ед.длины.

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 11:02:42)

Теперь, в рамках этого числового примера на равнобедренный треугольник,
мне осталось только разрисовать плоскость на три области,
так что при попадании точки Р в одну из этих областей получается кратчайший путь, единый для всей этой области.
А при попадании точки Р в другую область кратчайший путь будет другой.
в принципе это деление на области будет мало отличаться от аналогичного действа с равносторонним треугольником.
только точка пересечения сместится чуть выше, к вершине, да вместо трех прямых будут прямая и две симметричных гиперболы.
А так-то ничего принципиально нового.

Мне еще понадобятся барицнтрические и и трилинейные координаты точки пересечения гипербол,
но я их посчитаю один раз, когда буду искать эту точку в пифагоровом треугольнике.

Отредактировано Лукомор (2019-03-22 22:01:11)

гы-гы! 

Я сейчас для сравнения тут же приведу еще один пример на  равнобедренный треугольник.
Я его снова сконструирую из двух пифагоровых треугольников в том же масштабе, только сложу их не меньшими,
а большими катетами.

Это даст угол при вершине меньше прямого, порядка 74 градусов,
и "хорошие" решения уравнения с целыми числами в ответе.

Снова будет прямая и две гиперболы.
Точку их пересечения найду из уравнения:

подходящее решение этого уравнения:
x=0;
y=24;
r=36;
Вот так выглядит граф на котором все три маршрута равны в данном случае:

Он такой же, как и в первом примере, только гипербола ближе к прямой линии,
потому что угол при вершине ближе к 60 градусам, хотя и остается больше 60 градусов.
И это не то, что я хотел от этого второго примера.
Я хотел показать, что если угол при вершине меньше 60 градусов,
то гиперболы, а вместе с ними и области решений выгнутся в другую сторону от центра.
Но, видимо, не судьба.
Хотя, впрочем, почему не судьба?
Я сюда чуть позжее,
вставлю просто фотографию из своего рисовального альбома,
с таким именно треугольником и областями решения.
Да вот и рисунок:

Видно, что гиперболы выпуклы  от основания, и вогнуты к более длинным боковым сторонам.
при угле при вершине ьолее 60 градусов гиперболы будут наоборот вогнуты к основанию, и выпуклы от боковых сторон.

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 07:20:46)

Вот окончательное решение для пифагорового треугольника в моём масштабе:

Можно заметить, что три пары отрезков имеют одинаковую сумму длин отрезков:
L(AP+BC) = L(BP+AC) = L(CP+AB) = 1400;
Вот три различных маршрута,
убеждаемся, что они равны:

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 17:34:41)

Переходим к части  заключительной.
Я выяснил, что в любом треугольнике есть точка, такая,
что три маршрута проходящие через эту точку и три вершины треугольника равны.
Я нашел способ находить эту точку в произвольном треугольнике.

И я хотел узнать об этой точке несколько более подробно.
Но все мои поисковые запросы, типа "точка пересечения гипербол", "равные длины маршрутов", и даже "equidistant point",
либо не приносили ничего существенного, либо натыкались на  вопрос: "Как найти эту точку?", - задаваемый на математических форумах. 
И на обсуждение без конкретного ответа.
Причем я понял две вещи:
- что эта точка кому-то зачем-то нужна;
- что ищут её тупым численным перебором, подгонкой с требуемой точностью.

Поняв, что я ничего не найду в интернете слепым поиском, я решился на отчаянный шаг.
Я уже знал, что в интернете есть

(для перехода в энциклопедию кликнуть по картинке!) 
В этой онлайн энциклопедии собраны и описаны почти 32 тысячи замечательных точек,
связанных каким-либо образом с произвольным треугольником.
Я был уверен, что "моя" точка там тоже описана, но читать всю энциклопедию, состоящую
чуть больше чем полностью из чисел и ужасных формул, с редким вкраплением английских слов
мне показалось нереальным вообще.

У меня на тот момент не было никакой общей формулы для этой точки,
а были лишь ее декартовы численные координаты, и то, только для одного единственного пифагорова треугольника (3,4,5).
И я решил сократить поиск, подставляя в формулу для каждой точки из энциклопедии свои координаты.

Однако у этой энциклопедии есть одно маленькое неудобство:
координаты всех замечательных точек приведены в барицентрических и в трилинейных координатах. 
В основном и в тех и в других, хотя для некоторых точек есть только одно представление, либо то, либо другое.

Адски ругая "британских учоных",
которые в этом случае были совершенно ни при чем,
поскольку энциклопедия составлена американцем,
я таки нашел необходимые координаты хотя бы и для одного треугольника.
Об этом я сейчас расскажу.

Отредактировано Лукомор (2019-03-23 19:56:21)

Что испортил?!
Где испортил?!
Когда испортил?!